Question

已知函数f(x)=sin(

3π

4

-x)-

3

cos(x+

π

4

)，x∈R，则f（x）是（　　）

• A、周期为π，且图象关于点(

  π

  12

  ，0)对称
• B、最大值为2，且图象关于点(

  π

  12

  ，0)对称
• C、周期为2π，且图象关于点(-

  π

  12

  ，0)对称
• D、最大值为2，且图象关于x=

  5π

  12

  对称

Answer 1

分析：把f（x）解析式中的被减数中的角度

3π

4

-x变形为π-（x+

π

4

）后，利用诱导公式变形，提取2后，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值；找出ω的值，利用周期公式即可求出f（x）的周期，令k=0即可求出函数图象的一个对称点(

π

12

，0)，即可得到正确的选项．

解答：解：f(x)=sin(

3π

4

-x)-

3

cos(x+

π

4

)
=sin[π-（x+

π

4

）]-

3

cos（x+

π

4

）
=sin（x+

π

4

）-

3

cos（x+

π

4

）
=2[

1

2

sin（x+

π

4

）-

3

2

cos（x+

π

4

）]
=2sin[（x+

π

4

）-

π

3

]
=2sin（x-

π

12

），
∵x∈R，∴x-

π

12

∈R，
∴-1≤sin（x-

π

12

）≤1，
则f（x）的最大值为2；
∵ω=1，∴周期T=

2π

1

=2π；
当x-

π

12

=kπ（k∈Z）时，f（x）图象关于某一点对称，
∴当k=0，求出x=

π

12

，即f（x）图象关于x=

π

12

对称，
故选B

点评：此题考查了三角函数的恒等变形，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性以及三角函数的最值，灵活运用三角函数的恒等变形把f（x）化为一个角的正弦函数是本题的突破点．