Question

11．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，b=3，则c=（　　）

• A． $\frac{14}{5}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{63}{20}$
• D． $\frac{33}{20}$

Answer 1

分析 由A和B都为三角形的内角，根据cosA及cosB的值，求出sinA和sinB的值，
将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，求出sinC的值，
再利用正弦定理求出c的值．

解答 解：△ABC中，cosA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，
∴sinA=$\sqrt{1{-sin}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，sinB=$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$
=$\frac{56}{65}$，
又b=3，
由正弦定理$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$得：
c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{3×\frac{56}{65}}{\frac{12}{13}}$=$\frac{14}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理的应用问题．