Question

（2012•天津）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，点P（

5

5

a，

2

2

a）在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．

Answer 1

分析：（1）根据点P（

5

5

a，

2

2

a）在椭圆上，可得

a2

5a2

+

a2

2b2

=1，由此可求椭圆的离心率；
（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x₀，y₀），与椭圆方程联立，x02=

a2b2

k2a2+b2

，根据|AQ|=|AO|，A（-a，0），y₀=kx₀，可求x0=

-2a

1+k2

，由此可求直线OQ的斜率的值．

解答：解：（1）因为点P（

5

5

a，

2

2

a）在椭圆上，所以

a2

5a2

+

a2

2b2

=1
∴

b2

a2

=

5

8

∴e2=1-

b2

a2

=1-

5

8

=

3

8

∴e=

6

4

（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx
设点Q的坐标为（x₀，y₀），由条件得

y0=kx0 x02 a2 + y02 b2 =1

，消元并整理可得x02=

a2b2

k2a2+b2

①
∵|AQ|=|AO|，A（-a，0），y₀=kx₀，
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02=-2ax0
∵x₀≠0，∴x0=

-2a

1+k2

代入①，整理得(1+k2)2=4k2×

a2

b2

+4
∵

b2

a2

=

5

8

∴(1+k2)2=

32

5

k2+4，
∴5k⁴-22k²-15=0
∴k²=5
∴k=±

5

点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．