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【题目】已知函数f(x)=sinωx+λcosωx,其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为 ,且在x= 处取得最大值.
(1)求λ的值.
(2)设 在区间 上是增函数,求a的取值范围.

【答案】
(1)解:f(x)=sinωx+λcosωx= sin(ωx+φ),其中tanφ=λ;

由题可得 =

∴T=π,

∴ω= =2,

∵x= 处取得最大值,

+φ=

∴φ=

∴λ=tan =


(2)解:由(1)可得f(x)=2sin(2x+ ),

=2asin(2x+ )+cos(4x﹣

=2asin(2x+ )+2cos2(2x﹣ )﹣1

=2asin(2x+ )+2sin2(2x+ )﹣1;

设t=sin(2x+ ),其中x∈( ),

∴2x+ ∈( ,π),

0<sin(2x+ )<

函数t=sin(2x+ )是单调减函数,且0<t<

∴函数g(t)=2t2+2at﹣1,在对称轴t=﹣ 的左侧单调递减,

令﹣ ,解得a≤﹣1,

∴a的取值范围是a≤﹣1


【解析】(1)化简f(x)为正弦型函数,利用函数的周期和最值求出ω、λ的值;(2)由f(x)写出g(x)的解析式,利用换元法和复合函数的单调性,即可求出a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的正弦公式,需要了解两角和与差的正弦公式:才能得出正确答案.

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