Question

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：首先构造函数g(x)=

f(x)

ex

，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解

解答：解：∵y=f（x+1）为偶函数
∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=1对称
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
设g(x)=

f(x)

ex

（x∈R），则g′(x)= 

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

又∵f′（x）＜f（x）
∴f^′（x）-f（x）＜0
∴g^′（x）＜0
∴y=g（x）单调递减
∵f（x）＜e^x
∴

f(x)

ex

＜1
即g（x）＜1
又∵g(0)=

f(0)

e0

=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）

点评：本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属较难题