Question

已知函数f（x）=（x+1）²
（1）当1≤x≤m时，为等式f（x-3）≤x恒成立，求实数m的最大值；
（2）在曲线y=f（x+t）上存在两点关于直线y=x对称，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线y=x与曲线y=f（x-3）方程联立求得交点坐标，根据y=f（x-3）在区间[1，4]上图象在直线y=x的下面，判断出f（x-3）≤x恒成立，所以m的最大值为4进而求得m的最大值．
（2）设曲线上关于直线y=x的对称点线段AB的中点M的坐标以及直线AB的方程与f（x+t）联立利用韦达定理表示出x₁+x₂进而可表示出x₀利用直线方程表示出y₀代入直线y=x求得b和t的关系，利用t和b的不等式关系求得t的范围．

解答：解：（1）直线y=x与曲线y=f（x-3）的交点可由

y=x y=(x-2)2

?x²-5x+4=0
求得交点为（1，1）和（4，4），
此时y=f（x-3）在区间[1，4]上图象在直线y=x的下面，
即f（x-3）≤x恒成立，所以m的最大值为4．
（2）设曲线上关于直线y=x的对称点为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
线段AB的中点M（x₀，y₀），直线AB的方程为：y=-x+b．

y=(x+1+t)2 y=-x+b

?x²+（2t+3）x+（t+1）²-b=0
△=（2t+3）²-4[（t+1）²-b]=4t+5+4b＞0（1）
x₁+x₂=-2t-3，x₀=-

2t+3

2

，
y₀=-x₀+b=

2t+3

2

+b
又因为AB中点在直线y=x上，所以y₀=x₀
即-

2t+3

2

=

2t+3

2

+b
得b=-2t-3，代入（1）式4t+5+4b＞0，得t＜-

7

4

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生分析问题和函数思想的运用．