(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;
(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点、,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
图4
解:(I)如图,,,,由三垂线定理逆定理知,,所以是山坡与所成二面角的平面角,则,
.
设,.则.
记总造价为万元,
据题设有
当,即时,总造价最小.
(II)设,,总造价为万元,根据题设有
.
则,由,得.
当时,,在内是减函数;
当时,,在内是增函数.
故当,即(km)时总造价最小,且最小总造价为万元.
(III)解法一:不存在这样的点,.
事实上,在上任取不同的两点,.为使总造价最小,显然不能位于 与之间.故可设位于与之间,且=,,,总造价为万元,则.类似于(I)、(II)的讨论知,,,当且仅当,同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时,,取得最小值,点分别与点重合,所以不存在这样的点,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价.
解法二:同解法一得
.
当且仅当且,即同时成立时,取得最小值,以下同解法一.
科目:高中数学 来源: 题型:
2 |
5 |
a |
2 |
3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(07年湖南卷理)(12分)
如图4,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知,,,.
(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;
(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线
修建公路的总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点,,使沿折线修建公路的
总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(2)对于(1)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小;
(3)在AB上是否存在两个不同的点D′,E′,使沿折线.PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论.
a)
第19题图
(文)如图b所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,△ABC为等边三角形,且AA1=AD=DC=2.
(1)求AC1与BC所成角的余弦值;
(2)求二面角C1-BD-C的大小;
(3)设M是BD上的点,当DM为何值时,D1M⊥平面A1C1D?并证明你的结论.
第19题图
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科目:高中数学 来源:2007年湖南省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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