Question

 设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

   （1）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x*，1）为含峰区间； 

   （2）对给定的r（0＜r＜0.5＝，证明：存在x₁，x₂∈（0，1），满足x₂－x₁≥2r，使得由

       （I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r； 

   （3）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，由（I）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）证明：设x*为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减． 

当f（x₁）≥f（x₂）时，假设x*（0，x₂），则x₁<x₂<x*，从而f（x*）≥f（x₂） >f（x₁），这与f（x₁）≥f（x₂）矛盾，所以x*∈（0，x₂），即（0，x₂）是含峰区间. 

当f（x₁）≤f（x₂）时，假设x*（ x₂，1），则x*<≤x₁<x₂，从而f（x*）≥f（x₁）>f（x₂）， 

这与f（x₁）≤f（x₂）矛盾，所以x*∈（x₁，1），即（x₁，1）是含峰区间.…………4分 

   （2）证明：由（I）的结论可知： 

当f（x₁）≥f（x₂）时，含峰区间的长度为l₁＝x₂；当f（x₁）≤f（x₂）时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁； 

对于上述两种情况，由题意, 得 

      　　　                         ① …………………………6分 

由①得1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₁－x₁≤2r. 

又因为x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r，              ② 

将②代入①得x₁≤0.5－r， x₂≥0.5－r，          ③ …………………………8分 

由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r． 

所以这时含峰区间的长度l₁＝l₁＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r。…………………………10分 

    （3）解：对先选择的x₁；x₂，x₁<x₂，由（II）可知x₁＋x₂＝l，           ④  

在第一次确定的含峰区间为（0， x₂）的情况下，x₃的取值应满足x₃＋x₁＝x₂， ⑤ 

由④与⑤可得，当x₁>x₃时，含峰区间的长度为x₁。 

由条件x₁－x₃≥0.02，得x₁－（1－2x₁）≥0.02，从而x₁≥0.34。 

因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32．

………………14分