Question

已知函数f（x）=2^x-4^x
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2^x．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令t=2^x，则t＞0，所以原函数转化为y=t-t²=-（t-）²+
在（0，）上为增函数，在（，+∞）上是减函数，
∴y≤，f（x）的值域（-∞，]．
（2）因为f（x）＞16-9×2^x?（2^x）²-10×2^x+16＜0?（2^x-2）（2^x-8）＜0?2＜2^x＜8?1＜x＜3．
所以不等式f（x）＞16-9×2^x的解集为{x|1＜x＜3}．
（3）令t=2^x，因为x∈[-1，1]?t∈[，2]，
所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t²=m在t∈[，2]上有解
又因为y=t-t²=-（t-）²+在t∈[，2]上为减函数，
所以y_max=，y_min=-2，即-2≤m．
故m的取值范围-2≤m．
分析：（1）令t=2^x，把问题转化为二次函数在固定区间上求值域即可．
（2）解关于2^x的一元二次不等式即可．
（3）令t=2^x，转化为求y=t-t²在t∈[，2]上的值域即可．
点评：本题是对二次函数知识的综合考查．既有二次不等式的解法，又有二次函数在固定区间上求值域问题，是一道好题．