Question

己知{a_n}为等差数列，a₁=2，a₂=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

Answer 1

解：（1）{a_n}为等差数列，a₁=2，a₂=3，若在每相邻两项之间插入三个数，
使它和原数列的数构成一个新的等差数列，不妨记为{b_n}
则等差数列{b_n}是以2为首项，3为第五项的数列，设{a_n}的公差为d，
设{b_n}公差为d′，则2+d=3，2+4d′=3，解得d=1，d′=，
故原等差数列{a_n}的通项为：a_n=2+1×（n-1）=n+1
新等差数列{b_n}的通项为：，
故原数列的第12项为a₁₂=13，令b_n=13，解得n=45，
故原数列的第12项是新数列的第45项．
（2）由（1）知新数列的第29项，
令a_n=9解得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项．
分析：（1）由题意可求出两数列的通项公式，可求得原数列的第12项即可知道是新数列的第几项；（2）同样，只要由通项公式求出新数列的第29项也可求得是原数列的第几项．
点评：本题为等差数列的考查，熟练运用等差数列的通项公式是解决问题的关键，属中档题．