Question

（本小题满分12分）
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）存在，使．

20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，
由韦达定理得，，

，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，
直线与抛物线相切，
，．
即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得
．由韦达定理得．
，点的坐标为．，，
抛物线在点处的切线的斜率为，．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知，则






，
，，解得．
即存在，使．