Question

如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；
（Ⅲ）求平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．在这个“折叠问题”中，要把握好不变的长度关系、线线关系、线面关系，比如：AB=3，BC=4，AC=5，所以AB⊥BC；四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁．
（Ⅱ）本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．因为AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB为四棱锥A-BCQP的高，并且四边形BCQP为直角梯形．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB₁两两互相垂直．以B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

解答：（Ⅰ）证明：在正方形ADD₁A₁中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，
所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC．（2分）
因为四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，
所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BCC₁B₁．（5分）
（Ⅱ）解：因为AB⊥平面BCC₁B₁，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为SBCQP=

1

2

(BP+CQ)×BC=20．
所以四棱锥A-BCQP的体积VA-BCQP=

1

3

SBCQP×AB=20．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB₁两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，

则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以

AP

=(0，3，-3)，

AQ

=(4，7，-3)，
设平面PQA的一个法向量为n₁=（x，y，z）．
则

n1• AP =0 n1• AQ =0.

即

3y-3z=0 4x+7y-3z=0.

令x=-1，则y=z=1．
所以n₁=（-1，1，1）．（12分）
显然平面BCA的一个法向量为n₂=（0，1，0）．
设平面PQA与平面BCA所成锐二面角为θ．
则cosθ=cos＜n1，n2＞=

n 1•n2

|n1||n2|

=

3

3

．
所以平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为

3

3

．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力