【题目】若f(x)为二次函数,﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的两根,f(0)=1
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),
由f(0)=1可得c=1,
故方程f(x)﹣x﹣4=0可化为ax2+(b﹣1)x﹣3=0,
∵﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的两根,
∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣ ,﹣1×3= ,
解得a=1,b=﹣1,故f(x)的解析式为f(x)=x2﹣x+1
(2)解:∵在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,
∴m<x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上有解,
故只需m小于函数g(x)=x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上的最大值,
由二次函数可知当x=﹣1时,函数g(x)取最大值5,
∴实数m的取值范围为(﹣∞,5)
【解析】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),由题意和韦达定理待定系数可得;(2)问题转化为m<x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上有解,只需m小于函数g(x)=x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上的最大值,由二次函数区间的最值可得.
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【题目】已知函数f(x)=1+ .
(Ⅰ)是否存在实数a的值,使f(x)为奇函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(Ⅱ)若a=1,t(2x+1)f(x)>2x﹣2对x∈R恒成立,求实数f(x)的取值范围.
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【题目】下列语句:
① 是无限循环小数;②x2-3x+2=0;③当x=4时,2x>0;
④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?⑤一个数不是合数就是质数;
⑥作△ABC≌△A'B'C';⑦二次函数的图像太美了!
⑧4是集合{1,2,3}中的元素.
其中不是命题的有,是真命题的有.(只填序号)
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【题目】定义域为R的函数f(x)= (x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , 则f(x1+x2+x2+x4+x5)等于 ( )
A.0
B.21g2
C.31g2
D.1
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+1满足f(1+x)=f(1﹣x), .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断g(x)在[1,2]上的单调性并用定义证明你的结论;
(3)求g(x)在[1,2]上的最大值和最小值.
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