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【题目】若f(x)为二次函数,﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的两根,f(0)=1
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),

由f(0)=1可得c=1,

故方程f(x)﹣x﹣4=0可化为ax2+(b﹣1)x﹣3=0,

∵﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的两根,

∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣ ,﹣1×3=

解得a=1,b=﹣1,故f(x)的解析式为f(x)=x2﹣x+1


(2)解:∵在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,

∴m<x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上有解,

故只需m小于函数g(x)=x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上的最大值,

由二次函数可知当x=﹣1时,函数g(x)取最大值5,

∴实数m的取值范围为(﹣∞,5)


【解析】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),由题意和韦达定理待定系数可得;(2)问题转化为m<x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上有解,只需m小于函数g(x)=x2﹣3x+1在区间[﹣1,1]上的最大值,由二次函数区间的最值可得.

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