Question

【题目】如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．

（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BCQC；

（Ⅱ）求弦AB的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】试题（Ⅰ）由于PQ与⊙O相切于点A，再由切割线定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC从而命题得到证明

（Ⅱ）解：PQ与⊙O相切于点A，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由对应边成比例，求出AB的值．

试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，

∴由切割线定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC．

∴QC2﹣QA2=BCQC．

（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5

又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC，∴QC=9

由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，∴．