Question

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得．

解答：解：关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化为（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
当k=-2时，方程（1）的解为±

3

，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
当k=

1

4

时，方程（1）有两个不同的实根±

6

2

，方程（2）有两个不同的实根±

2

2

，即原方程恰有4个不同的实根
当k=0时，方程（1）的解为-1，+1，±

2

，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根
当k=

2

9

时，方程（1）的解为±

15

3

，±

2 3

3

，方程（2）的解为±

3

3

，±

6

3

，即原方程恰有8个不同的实根
故选A

点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．