心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关.某数学兴趣小组为了验证这个结论.从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学.给所有同学几何题和代数题各一题.让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表:几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后.甲每次� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式

P（k²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

考点：独立性检验的应用,离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．

解答： 解：（1）由表中数据得K²的观测值K2=

50×(22×12-8×8)2

30×20×30×20

≈5.556＞5.024，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为

5≤x≤7

6≤y≤8

（如图所示）

设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型P(A)=

×1×1

2×2

即乙比甲先解答完的概率为

；

（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C82=28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C62=15种；恰有一人被抽到有C21•C61=12种；两人都被抽到有C22=1种，
∴X可能取值为0，1，2，P(X=0)=

，P(X=1)=

，P(X=2)=

X的分布列为：

∴EX=0×

+1×

+2×

．

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．

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