Question

已知定义在R上的函数y=f（x）可导函数，满足当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，则关于x的函数g(x)=f(x)-

2

x

的零点个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、不确定

Answer 1

分析：满足当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，可得：当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0．
令h（x）=xg（x）=xf（x）-2，可得h′（x）=f（x）+xf′（x），因此当x＞0时，函数h（x）单调递增；当x＜0时，函数h（x）单调递减．即可得出函数g（x）零点的个数．

解答：解：∵满足当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0；
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0．
令h（x）=xg（x）=xf（x）-2，
则h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴当x＞0时，函数h（x）单调递增；当x＜0时，函数h（x）单调递减．
∴关于x的函数g(x)=f(x)-

2

x

的零点个数可能为：0，1，2．
故选：D．

点评：本题通过构造函数利用函数的单调性研究函数零点的个数，属于难题．