Question

12．如图，△ABC中，三个内角B、A、C成等差数列，且AC=10，BC=15
（1）求△ABC的面积；
（2）已知平面直角坐标系xOy，点D（10，0），若函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象绕过A、C、D三点，且A、D为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质求出A=60°，结合余弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．
（2）根据三角函数的图象，求出ω 和φ的值的值即可得到结论．

解答 解：（1）在△ABC中，∵角B、A、C成等差数列，
∴2A=B+C，即3A=180°，则A=60°                     …（1分）
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccos60°，…（2分）
∴c²-10c-125=0，
则c=|AB|=5+5$\sqrt{6}$． …（4分）
又∵|AO|=10cos60°=5，
∴|BO|=5$\sqrt{6}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$（5+5$\sqrt{6}$ ）×$5\sqrt{3}$=$\frac{25}{2}$（3$\sqrt{2}+\sqrt{3}$）．…（6分）
（2）T=2×（10+5）=30，
∴ω=$\frac{π}{15}$． …（8分）
∵f（-5）=Msin[$\frac{π}{15}$×（-5）+φ]=0，
∴sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，
则-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，…（10分）
∵f（0）=Msin$\frac{π}{3}$=5$\sqrt{3}$，
∴M=10，
则f（x）=10sin（$\frac{π}{15}$x+$\frac{π}{3}$）．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，利用等差数列和余弦定理的定义进行求解是解决本题的关键．