Question

【题目】已知集合A={x|1＜x≤5}，集合B={ ＞0}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|a+1≤x≤4a﹣3}，且C∪A=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得（2x﹣1）（x﹣3）＞0，

解得x＜ 或x＞3，则集合B={x|x＜ 或x＞3}，

因集合A={x|1＜x≤5}，

所以A∩B={x|3＜x≤5}

（2）解：因为C∪A=A，所以CA={x|1＜x≤5}，

又集合C={x|a+1≤x≤4a﹣3}，

①当C=时，则4a﹣3＜a+1，解得 ，满足题意；

②当C≠时，要使CA，则 ，解得 ．

综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]

【解析】（1）由分式不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B；（2）由C∪A=A得CA，根据子集的定义对C进行分类讨论，分别列出不等式组，求出实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB，反之也成立．