Question

【题目】点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC= ，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，

若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，

所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为 S△ABC×DQ=3，

即 ×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，

OA2=AQ2+OQ2，即R2=（ ）2+（3﹣R）2，∴R=2，

则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．

故选：D．

根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积