Question

已知△ABC，∠A=120°，

AB

•

AC

=-2，

AD

=

1

2

AB

，点G是CD 上的一点，

AG

=

1

3

AB

+m

AC

，则|

AG

|的最小值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的定义和共线向量的性质，可得m=

1

3

，|

AB

|•|

AC

|=4，再由向量的平方即为模的平方，结合重要不等式a²+b²≥2ab，即可得到最小值．

解答： 解：△ABC中，∠A=120°，

AB

•

AC

=-2，
则|

AB

|•|

AC

|•cos120°=-2，即有|

AB

|•|

AC

|=4，
由于

AD

=

1

2

AB

，则

AG

=

1

3

AB

+m

AC

=

2

3

AD

+m

AC

，
由于G是CD 上的一点，则m=

1

3

，
即有

AG

=

1

3

（

AB

+

AC

），
则|

AG

|²=

1

9

（

AB

2+

AC

2+2

AB

•

AC

）=

1

9

×（-4+|

AB

|²+|

AC

|²）
≥

1

9

×（-4+2|

AB

|•|

AC

|）=

4

9

，
即有|

AB

|=|

AC

|=2时，|

AG

|取得最小值，且为

2

3

．
故选A．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三点共线的向量表示，考查重要不等式的运用，属于中档题．