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抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直?(注:设P(x,y)是抛物线y2=2px上一点,则抛物线在P点处的切线斜率是).
【答案】分析:设出圆的方程,再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式,根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式,把P点代入抛物线方程和椭圆方程,联立方程组可求得k,则圆的方程可得.
解答:解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1
再设圆与抛物线的一个交点为P(x,y
在P点圆半径的斜率=
在P点抛物线的切线斜率=
在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切,
.(1)
因P(x,y)是圆与抛物线的交点,
∴y2=2x.(2)
(x-k)2+y2=1.(3)
由(1)、(2)式消去y,得x=-k,
将(2)代入(3),得(x-k)2+2x-1=0,
将x=-k代入,得4k2-2k-1=0,

由于抛物线在y轴的右方,所以k=-x≤0
故根号前应取负号,即.故所求圆的方程为
故圆心是(,0)时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直
点评:本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用.灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题.
练习册系列答案
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y=±
3
x
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3
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x2-
y2
3
=1
x2-
y2
3
=1
,其渐近线方程是
y=±
3
x
y=±
3
x

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