Question

18．解关于x的不等式：a|x-1|＞2+a（a＜0）

Answer 1

分析 原不等式即即|x-1|＜1+$\frac{2}{a}$，分类讨论，求得它的解集．

解答 解：∵a|x-1|＞2+a（a＜0），即|x-1|＜1+$\frac{2}{a}$，
当a=-2时，不等式即|x-1|＜0，x不存在，此时，不等式的解集为∅；
当a＜-2时，1+$\frac{2}{a}$＞0，原不等式即|x-1|＜1+$\frac{2}{a}$，可得-1-$\frac{2}{a}$＜x-1＜1+$\frac{2}{a}$，
∴-$\frac{2}{a}$＜x＜2+$\frac{2}{a}$，故不等式的解集为{x|-$\frac{2}{a}$＜x＜2+$\frac{2}{a}$ }；
当-2＜a＜0时，1+$\frac{2}{a}$＜0，原不等式的解集为∅．
综上可得，当a=-2或-2＜a＜0时，原不等式的解集为∅；当a＜-2时，不等式的解集为{x|-$\frac{2}{a}$＜x＜2+$\frac{2}{a}$ }．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．