Question

（2012•长春模拟）圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P但不与x轴垂直的弦，O为坐标原点．则

OA

•

OB

的取值范围

[-8，2]

．

Answer 1

分析：设直线AB方程为y-2=k（x+1），将它与圆方程消去y得关于x的方程，由一元二次方程根与系数关系得x₁+x₂=-

2k2+4k

1+k2

，x₁x₂=

k2+4k-4

1+k2

，再结合直线方程算出y₁y₂=

-7k2+4k+4

1+k2

．由此得到

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-6+

8k+6

1+k2

，利用导数工具讨论关于k的函数的单调性与最值，即可得到

OA

•

OB

的取值范围．

解答：解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k（x+1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

y-2=k(x+1) x2+y2=8

消去y，
得（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0
∴x₁+x₂=-

2k2+4k

1+k2

，x₁x₂=

k2+4k-4

1+k2

可得y₁y₂=[k（x₁+1）+2][k（x₂+1）+2]=k²x₁x₂+（k+2）（x₁+x₂）+（k+2）²=

-7k2+4k+4

1+k2

．
从而有

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

k2+4k-4

1+k2

+

-7k2+4k+4

1+k2

=-6+

8k+6

1+k2

设F（k）=

8k+6

1+k2

，则F'（k）=

8(1+k2)-2k(8+6k)

(1+k2)2

=-

4(2k-1)(k+2)

(1+k2)2

∴当k＜-2或k＞

1

2

时，F'（k）＜0；当-2＜k＜

1

2

时，F'（k）＞0
函数F（k）在（-∞，-2）和（

1

2

，+∞）上是减函数，在（-2，

1

2

）上是增函数；
由此可得F（k）的最小值为它的极小值F（-2）=-2，最大值是它的极大值F（

1

2

）=8
∴

OA

•

OB

=-6+

8k+6

1+k2

的最小值为-8，最小值为2
即

OA

•

OB

的取值范围为[-8，2]
故答案为：[-8，2]

点评：本题在直线与圆相交的情况下，求数量积的取值范围，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算等知识，属于中档题．