Question

如图，已知双曲线C₁：

x2

2

-y2=1，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C₁，C₂都有公共点，则称P为“C₁-C₂型点“
（1）在正确证明C₁的左焦点是“C₁-C₂型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁-C₂型点”；
（3）求证：圆x²+y²=

1

2

内的点都不是“C₁-C₂型点”

Answer 1

（1）C₁的左焦点为（-

3

，0），写出的直线方程可以是以下形式：
x=-

3

或y=k(x+

3

)，其中|k|≥

3

3

．
（2）证明：因为直线y=kx与C₂有公共点，
所以方程组

y=kx |y|=|x|+1

有实数解，因此|kx|=|x|+1，得|k|=

|x|+1

|x|

＞1．
若原点是“C₁-C₂型点”，则存在过原点的直线与C₁、C₂都有公共点．
考虑过原点与C₂有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．
显然直线x=0与C₁无公共点．
如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组

y=kx x2 2 -y2=1

，得x2=

2

1-2k2

＜0，矛盾．
所以直线y=kx（|k|＞1）与C₁也无公共点．
因此原点不是“C₁-C₂型点”．
（3）证明：记圆O：x2+y2=

1

2

，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C₁，C₂都有公共点，显然l不与x轴垂直，
故可设l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，
从而过Q且以k为斜率的直线l与C₂无公共点，矛盾，所以|k|＞1．
因为l与C₁由公共点，所以方程组

y=kx+b x2 2 +y2=1

有实数解，
得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-2=0．
因为|k|＞1，所以1-2k²≠0，
因此△=（4kb）²-4（1-2k²）（-2b²-2）=8（b²+1-2k²）≥0，
即b²≥2k²-1．
因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d=

|b|

1+k2

，
所以

b2

1+k2

=d2＜

1

2

，从而

1+k2

2

＞b2≥2k2-1，得k²＜1，与|k|＞1矛盾．
因此，圆x2+y2=

1

2

内的点不是“C₁-C₂型点”．