分析 (1)利用分析法,寻找使不等式成立的充分条件.
(2)假设$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$为同一等差数列的三项,进而根据等差数列的定义,分析出矛盾,进而得到原结论成立.
解答 证明(1)要证明$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$>$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$;
只要证$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$>$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$,
只要证($\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$)2>($\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$)2,
只要证13+2$\sqrt{42}$>13+2$\sqrt{40}$,
只要证$\sqrt{42}$>$\sqrt{40}$
即证 42>40. 而 42>40 显然成立,故原不等式成立
(2)证明:假设$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$为同一等差数列的三项,
则存在整数m,n满足
$\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$+md ①
$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+nd ②
①×n-②×m得:$\sqrt{3}$n-$\sqrt{5}$m=$\sqrt{2}$(n-m)
两边平方得:3n2+5m2-2$\sqrt{15}$mn=2(n-m)2
左边为无理数,右边为有理数,且有理数≠无理数
所以,假设不正确.
故$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$不能为同一等差数列中的三项
点评 本题主要考查用分析法证明不等式,以及反证法,熟练掌握反证法的适用范围及证明步骤是解答的关键,把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件,直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,+∞) | D. | (0,1)∪(2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{5}{4}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{6}{5}$ | D. | $\frac{5}{6}$ |
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A. | 45° | B. | 135° | C. | 45°或135° | D. | 15° |
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