Question

已知直线l：x-2y-5=0与圆O：x²+y²=50相交于点A，B，求：
（1）交点A，B的坐标；
（2）△AOB的面积；
（3）圆心角AOB的余弦．

Answer 1

分析：（1）联立直线l与圆O方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A与B的坐标；
（2）由A与B坐标确定出直线AB解析式，求出原点O到直线AB的距离d，再利用两点间的距离公式求出AB的长，即可确定出三角形AOB的面积；
（3）利用余弦定理表示出cos∠AOB，求出OA与OB的长，再由AB的长，代入计算即可求出值．

解答：解：（1）由方程组

x-2y-5=0 x2+y2=50

，
消去x得y²+4y-5=0，解得：y₁=1，y₂=-5，
∴

x=7 y=1

或

x=-5 y=-5

，
则点A，B的坐标分别为（7，1），（-5，-5）；
（2）由（1）知直线AB的方程为x-2y-5=0，
∵圆O的圆心为坐标原点O，半径为5

2

，
∴原点O到直线AB的距离为d=

5

5

=

5

，
又AB=

[7-(-5)]2+[1-(-5)]2

=6

5

，
则△AOB的面积为S=

1

2

×6

5

×

5

5

=15；
（3）∵OA=5

2

，OB=5

2

，AB=6

5

，
∴cos∠AOB=

OA2+OB2-AB2

2OA•OB

=-

4

5

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间的距离公式，余弦定理，以及直线与圆交点坐标，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．