分析 根据条件构造函数g(x)=f(x)+2-2lnx,x>0,求函数的导数,研究函数的单调性,利用函数单调性将不等式进行转化求解即可.
解答 解:由f(x)+2≥2lnx得f(x)+2-2lnx≥0,
设g(x)=f(x)+2-2lnx,x>0,
则g′(x)=f′(x)-$\frac{2}{x}$=$\frac{xf′(x)-2}{x}$,
∵x>0时,xf'(x)<2恒成立,
∴此时g′(x)=$\frac{xf′(x)-2}{x}$<0.
即此时函数g(x)为减函数,
∵y=f(x)(x∈R)图象过点(e,0),
∴f(e)=0,
则g(e)=f(e)+2-2lne=2-2=0,
则f(x)+2-2lnx≥0,等价为g(x)≥0,
即g(x)≥g(e),
∵函数g(x)在(0,+∞)为减函数,
∴0<x≤e,
即不等式f(x)+2≥2lnx解集为(0,e],
故答案为:(0,e]
点评 本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数求函数的导数,利用函数的单调性是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -x(1-x) | B. | x(1-x) | C. | -x(1+x) | D. | x(1+x) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $(-∞,\frac{3}{2}]$ | B. | $[\frac{3}{2},+∞)$ | C. | (-∞,-1] | D. | [4,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{4}{9}$ | B. | $\frac{8}{9}$ | C. | $\frac{3}{7}$ | D. | $\frac{6}{7}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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