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19.已知函数y=f(x)(x∈R)图象过点(e,0),f'(x)为函数f(x)的导函数,e为自然对数的底数,若x>0时,xf'(x)<2恒成立,则不等式f(x)+2≥2lnx解集为(0,e].

分析 根据条件构造函数g(x)=f(x)+2-2lnx,x>0,求函数的导数,研究函数的单调性,利用函数单调性将不等式进行转化求解即可.

解答 解:由f(x)+2≥2lnx得f(x)+2-2lnx≥0,
设g(x)=f(x)+2-2lnx,x>0,
则g′(x)=f′(x)-$\frac{2}{x}$=$\frac{xf′(x)-2}{x}$,
∵x>0时,xf'(x)<2恒成立,
∴此时g′(x)=$\frac{xf′(x)-2}{x}$<0.
即此时函数g(x)为减函数,
∵y=f(x)(x∈R)图象过点(e,0),
∴f(e)=0,
则g(e)=f(e)+2-2lne=2-2=0,
则f(x)+2-2lnx≥0,等价为g(x)≥0,
即g(x)≥g(e),
∵函数g(x)在(0,+∞)为减函数,
∴0<x≤e,
即不等式f(x)+2≥2lnx解集为(0,e],
故答案为:(0,e]

点评 本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数求函数的导数,利用函数的单调性是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.

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