Question

5．已知△ABC三边成等差数列，最大角与最小角相差90°，求证：a：b：c=（$\sqrt{7}$+1）：$\sqrt{7}$：（$\sqrt{7}$-1）．

Answer 1

分析 由题可知，A最大，C最小，则A-C=90°，且2b=a+c，由正弦定理有2sinB=sinA+sinC，利用倍角公式及和差化积公式可得4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2cos$\frac{B}{2}$cos45°，从而求得sinB进而可求sinA+sinC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，①又由sinA-sinC=2cos$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$=$\frac{1}{2}$，②，由①，②解得sinA，sinC，从而由正弦定理求得a：b：c=sinA：sinB：sinC的值．

解答 证明：由题可知，A最大，C最小，则A-C=90°，
又∵a、b、c成等差数列，∴有2b=a+c，
由正弦定理有2sinB=sinA+sinC，
即4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2cos$\frac{B}{2}$cos45°，
∴sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinA+sinC=2sinB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，①
又∵sinA-sinC=2cos$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$sin45°=$\frac{1}{2}$，②
由①，②解得sinA=$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$，sinC=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，
由正弦定理，得a：b：c=sinA：sinB：sinC=（$\sqrt{7}$+1）：$\sqrt{7}$：（$\sqrt{7}$-1）

点评 本题主要考查了正弦定理，和差化积公式，倍角公式的应用，考查了等差数列的性质，考查的知识点多，技巧性强，属于中档题．