Question

【题目】已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；

（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）{x|x≠±1}（Ⅱ）f（x）为偶函数（III）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数成立的条件进行求解即可．（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明．
（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明．

试题解析：

（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}；

（Ⅱ）f（x）为偶函数．

∵f（x）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）

∴f（x）为偶函数；…

（III）证明：

设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==2()

，

∵1＜x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．