Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上两个动点，其中x₁≠x₂，且x₁+x₂=4，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于点Q，求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）联立抛物线方程与直线方程消x得y²-2py+2p=0，利用△=0，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）设线段AB的中点为M，则M（2，$\frac{2}{k}）$，求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得S_△ABQ，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论．

解答 解：（1）联立抛物线方程与直线方程消x得y²-2py+2p=0，
因为直线与抛物线相切，所以△=4p²-8p=0⇒p=2，所以抛物线C的方程是y²=4x．                …（4分）
（2）依题意可设直线AB：y=kx+m（k≠0），
并联立方程y²=4x消x得ky²-4y+4m=0，
因为△＞0⇒mk＜1①，且${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$②${y_1}{y_2}=\frac{4m}{k}$③
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=4k+2m，并且结合 ②得 $m=\frac{2}{k}-2k$④，
把④代入①得  ${k^2}＞\frac{1}{2}$，⑤…（6分）
设线段AB的中点为M，则M（2，$\frac{2}{k}）$，直线l：$y=-\frac{1}{k}（x-2）+\frac{2}{k}$，
令y=0⇒x=4⇒Q（4，0），…（8分）
设直线AB与x轴相交于点D则$D（-\frac{m}{k}$，0），
所以${S_{△ABQ}}=\frac{1}{2}|{4+\frac{m}{k}}||{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|{4+\frac{m}{k}}|\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$，⑥
把②③④代入⑥并化简得S_△ABQ=$4（1+\frac{1}{k^2}）\sqrt{2-\frac{1}{k^2}}$．                                  …（10分）
设$\sqrt{2-\frac{1}{k^2}}$=t，由⑤知 t＞0，且 $\frac{1}{k^2}=2-{t^2}$，
S_△ABQ=12t-4t³，令f（t）=12t-4t³，
f'（t）=12-12t²=12（1-t）（1+t），
当0＜t＜1时，f'（t）＞0，当t＞1时，f'（t）＜0，
所以，当t=1时，此时k=±1，函数f（t）取最大值f（1）=8，
因此△ABQ的面积的最大值为8，直线l的方程为y=±x．…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算及最值的求解，属于中档题．