Question

设函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos²x+

3

sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=

5

2

，求sinA．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由此求出函数f（x）的
最大值以及最小正周期．
（2）根据cosB=

1

3

，f（

C

2

）=

5

2

，求出C=

π

3

，再由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，运算求得结果．

解答：解：（1）函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos²x+

3

sinx•cosx=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x
=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
所以函数f（x）的最大值是

5

2

，最小正周期为π．
（2）f（

C

2

）=2sin（C+

π

6

）+

1

2

=

5

2

，所以，2sin（C+

π

6

）=1，
又C为△ABC的内角，所以C=

π

3

．
又因为在△ABC 中，cosB=

1

3

，所以，sinB=

2 2

3

，
所以，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2 + 3

6

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的值域，
属于中档题．