如下图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N).
(1) 求、及数列的通项公式;(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式; (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.
(1) ,,;(2) ;(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用导数求直线切线和切线的方程,从而易得的值,再得直线的方程,知点在直线上,所以,既得通项公式;(2)观察图形利用定积分求表达式;(3)分别求得及表达式,再用数学归纳法、二项式定理及导数的方法证明即可.
试题解析:(1) 由,设直线的斜率为,则.
∴直线的方程为.令,得, 1分
∴, ∴. ∴.
∴直线的方程为.令,得. 2分
一般地,直线的方程为,
由于点在直线上,∴. 3分
∴数列是首项为,公差为的等差数列.∴. 4分
(2)
. 6分
(3)证明: , 8分
∴,.
要证明,只要证明,即只要证明. 9分
证法1:(数学归纳法)
①当时,显然成立;
②假设时,成立,则当时,,
而,
,,
时,也成立,由①②知不等式对一切都成立. 14分
证法2:
.
所以不等式对一切都成立. 14分
证法3:令,则,
当时, ,
∴函数在上单调递增. ∴当时, .
∵N, ∴, 即.∴.
∴不等式对一切N都成立. 14分
考点:1、利用导数求切线方程;2、数列的运算;3、定积分计算图形面积.
科目:高中数学 来源:导学大课堂必修四数学苏教版 苏教版 题型:044
在日常生活中我们知道,如果今天是星期一,那么过7天后的那一天是星期一,再过7天后的那一天仍然是星期一,如此这般,一遍一遍地循环变化,周而复始.这就是人们常谈的周期性.然而在数学上也能反映出美丽的规律曲线,如下图A、B、C.
请问:这些图象都呈现出怎样的变化规律?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2010年普通高等学校招生全国统一考试、文科数学(湖南卷) 题型:044
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8 Km的A、B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A、B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(下图).考察范围到A、B两点的距离之和不超过10 Km的区域.
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程:
(Ⅱ)如图所示,设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:湖南省高考真题 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)设点K是曲线E上的一动点,求线段KA中点的轨迹方程;
(3)若F(1,)是曲线E上的一点,设M、N是曲线E上不同的两点,直线FM和FN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com