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(04年浙江卷理)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=1,M是线段EF的中点。
(1)求证AM//平面BDE
(2)求二面角A-DF-B的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P,使得PFBC所成的角是60°。

解析: 方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形,

∴AM∥OE。

平面BDE, 平面BDE,

∴AM∥平面BDE。

 

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,

∵AB⊥AF, AB⊥AD,

∴AB⊥平面ADF,

∴AS是BS在平面ADF上的射影,

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角。

在RtΔASB中,

∴二面角A―DF―B的大小为60º。

(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,

∴PQ⊥平面ABF,平面ABF,

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,

PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形,

又∵ΔPAF为直角三角形,

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点。

方法二

(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。

,连接NE,

则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),∴NE=(,

 又点A、M的坐标分别是()、(

∴ AM=(

∴NE=AM且NE与AM不共线,

∴NE∥AM。

又∵平面BDE, 平面BDE,

∴AM∥平面BDF。

(Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF

∴AB⊥平面ADF。

为平面DAF的法向量。

∵NE?DB=(?=0,

∴NE?NF=(?=0得

NE⊥DB,NE⊥NF,

∴NE为平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º。

即所求二面角A―DF―B的大小是60º。

(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得

 

∴CD=(,0,0)

又∵PF和CD所成的角是60º。

解得(舍去),

即点P是AC的中点。

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