Question

函数y=kx（k＞0）的图象与函数y=log₂x的图象交于两点A₁、B₁（A₁在线段OB₁上，O为坐标原点），过A₁、B₁作x轴的垂线，垂足分别为M、N，并且A₁M、B₁N分别交函数y=log₄x的图象于A₂、B₂两点．
（1）试探究线段A₁A₂、A₂M的大小关系；
（2）若A₁B₂平行于x轴，求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

Answer 1

解：由题设A₁（x₁，log₂x₁），B₁（x₂，log₂x₂），则A₂（x₁，log₄x₁），B₂（x₂，log₄x₂），
（1）A₁A₂=log₂x₁-log₄x₁=log₂x₁-log₂x₁=log₂x₁；
A₂M=log₄x₁=，
故A₁A₂=A₂M；
（2）若A₁B₂平行于x轴，则log₂x₁=log₄x₂==log₂，x₁=；
又log₂x₁=kx₁，log₂x₂=kx₂，
联立方程组，解得
此时A₁（2，1），B₁（4，2），A₂（2，），B₂（4，1）．
∴四边形A₁A₂B₂B₁的面积==．
分析：（1）设A₁（x₁，log₂x₁），B₁（x₂，log₂x₂），则A₂（x₁，log₄x₁），B₂（x₂，log₄x₂），由题意可求得A₁A₂=，A₂M=，从而可得答案；
（2）若A₁B₂平行于x轴，可求得，从而可求得，得到A₁，B₁，，A₂，B₂的坐标，从而可求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．
点评：本题考查对数的运算性质，考查解方程组的能力，考出转化思想与方程思想的运用，考查思维与运算能力，属于难题．