Question

【题目】在一个十进制正整数中，如果它含有偶数（包括零）个数字 8 ，则称它为“优数” ，否则就称它为“非优数” .那么，长度（位数）不超过 （是正整数）的所有“优数” 的个数是 __________.

Answer 1

【答案】

【解析】

令长度为的“优数”的个数是，则.

令≥2，对于，一方面，在长度为的“非优数”的末尾添加数字8，

就变成长度为的“优数”，且这样的“优数”有个；

在长度为的“优数”的末尾添加一个非8数字，就变成长度为的“优数”，

且这样的“优数”有个.

显然，这两类长度为的“优数”不相同（个位数不同）.

另一方面，反之亦然.这就构成一一对应.

于是，.

即

令，则.

令（为待定的常数），则

.

令，则，于是，

，

.

故.

所以，长度不超过的所有的“优数” 的个数是.