若A、B是抛物线y2＝4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．
(Ⅰ)证明：点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(Ⅱ)试问：点P(x0，0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用x0表示)：若不存在，请说明理由．
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解：(Ⅰ)设AB为点P(x0，0)的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 (x1，y1)、(x2，y2)(x1 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．因为x1 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(xm，ym)，则 k＝ 从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P(x0，0)在直线l上，所以－ym 而 故点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是 整理得 则 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为0＜ 记l2＝g(t)＝－[t－2(x0－3)]2＋4(x0－1)2． 若x0＞3，则2(x0－3)∈(0，4x0－8)，所以当t＝2(x0－3)，即 l有最大值2(x0－1)． 若2＜x0＜3，则2(x0－1)≤0，g(t) 0＜l2＜16(x0－2)，l不存在最大值． 综上所述，当x0＞3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0－1）；当2＜x0≤3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值． |
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（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
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若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”．给定x0>2．
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
（II）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由．
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（湖南卷理20）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
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x2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，
．
于是
，代入
中，
(·)
是方程(·)的两个实根，且
＜4xm＝4(xm－2)＝4x0－8，于是设t＝
(0，4x0－8)．
在区间（0，4x0－8）上是减函数，所以