Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求：
（1）BC₁与平面ACC₁A₁所成的角；
（2）A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角．

Answer 1

分析 （1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC₁与平面ACC₁A₁所成的角的大小．
（2）分别求出平面A₁C₁B的法向量和$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，利用向量法能求出A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角的大小．

解答 解：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，1，0），C₁（0，1，1），A（1，0，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），
设平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴BC₁与平面ACC₁A₁所成的角为30°．
（2）A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），B（1，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），
设平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=-a+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
设A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．