Question

（1）研究函数f（x）=lnx-x的单调区间与极值．
（2）试探究f（x）=lnx-ax（a∈R）单调性．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
（2）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）＜0得x＞1
令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函数f（x）=lnx-x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间是（0，1）．
∴f（x）在x=1处取得极大值-1，无极大值．
（2）f′（x）=

1

x

-a…（2分）
（Ⅰ）∵x＞0，所以当a≤0时，f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）
当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）上f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（

1

a

，+∞）上f′（x）=

1

x

-a＜0，
故f（x）在（0，

1

a

）上是增函数，f（x）在（

1

a

，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．