(本小题满分11分) 已知函数,其中
.
(1) 当时,求
的单调区间;
(2) 证明:对任意,
在区间
内存在零点.
解:(1) (I) 的单调增区间是
,
,单调减区间是
.
(II) 的单调增区间是
,
,单调减区间是
.
(2) (I)对任意,
在区间
内存在零点.
(II)对任意,
在区间
内存在零点.
【解析】本试题主要是考查了函数的零点的概念,以及函数的单调区间的求解的综合运用。
(1)利用导数的思想,先分析函数的导数,然后确定参数t的值对于单调区间的影响,分类讨论得到结论。
(2)由上可知,当时,
在
内单调递减,在
内单调递增.需要讨论
与讨论的区间
的相互位置关系,然后得到结论。
解:(1) ,令
,解得
或
.…………1分
因为,所以要分为
和
讨论.
(I) 若,则
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
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|
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|
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单调递增 |
单调递减 |
单调递增 |
所以,的单调增区间是
,
,单调减区间是
.…………3分
(II) 若,则
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
单调递增 |
单调递减 |
单调递增 |
所以,的单调增区间是
,
,单调减区间是
.…………5分
(2) 由(Ⅱ)可知,当时,
在
内单调递减,在
内单调递增.需要讨论
与讨论的区间
的相互位置关系.
(I) 当,即
时,
在
内单调递减,
因为,
,
所以对任意,
在区间
内存在零点.…………7分
(II) 当,即
时,
在
内单调递减,在
内单调递增.
若,
,
.
所以对任意,
在区间
内存在零点.
若,
,
.
所以对任意,
在区间
内存在零点.
所以对任意,
在区间
内存在零点.
综上,对任意,
在区间
内存在零点.…………11分
科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高二上学期期中考试理科数学 题型:解答题
(本小题满分11分)
已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边,且
,求这个三角形的最大内角.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2010年陕西省西安市铁一中高二下学期期中考试数学(理) 题型:解答题
(本小题满分11分)已知,;
(1)试由此归纳出当时相应的不等式;
(2)试用数学归纳法证明你在第(1)小题得到的不等式.
查看答案和解析>>
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