Question

8．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是边长为4的菱形，BC⊥平面ACC₁A₁，CB=2，点A₁在底面ABC上的射影D为棱AC的中点，点A在平面A₁CB内的射影为E．
（1）证明：E为A₁C的中点；
（2）求三棱锥A-B₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）证明平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁，交线为A₁C，证明A₁ACC₁是菱形，推出AA₁=AC，得到E为A₁C的中点．
（2）由题意A₁D⊥平面ABC，利用等体积法转化求解即可．

解答 （1）证明：因为BC⊥面A₁ACC₁，BC⊆平面A₁BC，所以平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁
交线为A₁C，BC⊥平面ACC₁A₁，所以平面ABC⊥平面A₁ACC₁，点A在平面A₁CB内的射影为E．
可得AE⊥A₁C，即AE⊥平面A₁CB．又A₁ACC₁是菱形，AA₁=AC

所以E为A₁C的中点．…（6分）
（2）由题意A₁D⊥平面ABC，${A_1}D=2\sqrt{3}$，
${V_{A-{B_1}{C_1}C}}={V_{A-{B_1}BC}}={V_{{B_1}-ABC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•4•2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平面与平面垂直的判断以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．