Question

【题目】已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设g（x）任一点P（x0 ， y0），则其关于原点对称点P'（﹣x0 ， ﹣y0）在f（x）图象上， 则﹣y0=（﹣x0）2+（﹣x0），即y0=﹣x02+x0 ，
∴g（x）=﹣x2+x．
（Ⅱ）h（x）=﹣x2+x﹣λ（x2+x）+1=（﹣1﹣λ）x2+（1﹣λ）x+1；
即h（x）=（﹣1﹣λ）x2+（1﹣λ）x+1；
② 若λ=﹣1，h（x）=2x+1，满足在[﹣1，1]上是增函数；
②若λ≠﹣1，h（x）是二次函数，对称轴为x= ；
（ⅰ）当λ＜﹣1时， ≤﹣1，解得﹣3≤λ＜﹣1，
（ⅱ）当λ＞﹣1时， ≥1，解得=1＜λ≤﹣ ．
综上，﹣3≤λ≤﹣
【解析】（Ⅰ）设g（x）任一点P（x0 ， y0），则其关于原点对称点P'（﹣x0 ， ﹣y0）在f（x）图象上，故有﹣y0=（﹣x0）2+（﹣x0），即y0=﹣x02+x0 ， 从而得到函数g（x）的解析式．（Ⅱ）h（x）=（﹣1﹣λ）x2+（1﹣1λ）x+1，λ=﹣1时，h（x）=2x+1，在[﹣1，1]上是增函数；λ≠﹣1时，根据二次函数的单调性即可求得λ的范围，合并λ=﹣1即得λ的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．