Question

1．在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．
（1）若C₁与C₂只有一个公共点，求实数m的值；
（2）若θ=$\frac{π}{3}$与C₁交于点A（异于极点），θ=$\frac{5π}{6}（{ρ∈R}）$与C₁交于点B（异于极点），与C₂交于点C，若△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，求实数m（m＜0）的值．

Answer 1

分析 （1）将两个方程都化为普通方程，C₁与C₂只有一个公共点，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值；
（2）求|OA|，|OB|，|OC|，利用△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，即可求实数m（m＜0）的值．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，即x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4；
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），消去t可得y=$\sqrt{3}$（x-m）．
∵C₁与C₂只有一个公共点，
∴直线与圆相切，
∴$\frac{|2\sqrt{3}-\sqrt{3}m|}{2}$=2，∴m=2±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）θ=$\frac{π}{3}$与C₁交于点A（异于极点），|OA|=2，θ=$\frac{5π}{6}（{ρ∈R}）$与C₁交于点B（异于极点），|OB|=2$\sqrt{3}$，
曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}m}{2cos（θ+\frac{π}{6}）}$，θ=$\frac{5π}{6}（{ρ∈R}）$，|OC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×$（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）=3$\sqrt{3}$，∴m=-2．

点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．