Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．

（1）证明：平面ACP⊥平面ABC；
（2）若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠ABP=∠CBP，AB=BP=BC．

∴△ABP≌△CBP．

∴AP=CP，

又△ACP是直角三角形，∴△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．

取AC的中点O，连接OP，OB．

则OP⊥AC，OB⊥AC．

不妨设AC=2．

则OP=1，OB= ，BP=AB=2．

∴OP2+OB2=BP2=4，∴∠BOP=90°．

∴OP⊥OB．又OB∩AC=O．

∴OP⊥平面ABC．OP平面ACP．

∴平面ACP⊥平面ABC．

（2）解：在△ABP中，AE⊥BP，∴AE= = ．

可得BE= = ．

在平面BPO内：过点E作EF⊥OB，垂足为点F，则EF⊥平面ABC，连接AF．

则∠EAF是AE与平面ABC所成的角．

∴ ，可得EF= = ．

∴sin∠EAF= = ．

【解析】（1）由△ABP≌△CBP．可得AP=CP，又△ACP是直角三角形，所以△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．取AC的中点O，连接OP，OB．可得OP⊥AC，OB⊥AC．即OP2+OB2=BP2可推线面垂直，面面垂直。
（2）在△ABP中，AE⊥BP，可得AE,BE。在平面BPO内：过点E作EF⊥OB，垂足为点F，则EF⊥平面ABC，连接AF．可得∠EAF是AE与平面ABC所成的角。
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．