Question

设不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．

Answer 1

分析：M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，
分三种情况计算a的取值范围．
设f （x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）．…（2分）
（1）当△＜0时，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）
（2）当△=0时，a=-1或2．
当a=-1时，M={-1}?[1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）
（3）当△＞0时，有a＜-1或a＞2．
设方程f （x）=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，由M⊆[1，4]可得 1≤x₁＜x₂≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即

f(1)≥0，f(4)≥0 1≤a≤4，△＞0

，…（8分）
∴

-a+3≥0 18-7a≥0 1≤a≤4 a＜-1或a＞2

，解得2＜a≤

18

7

．…（10分）
综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是 （-1，

18

7

]．…（12分）

点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．