Question

【题目】某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；
（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（3）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为 =160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，

∴高于全市的平均值170.5；

（2）解：由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，

∴人数为0.2×50=10，

即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；

（3）解：∵P（170.5﹣3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，

∴P（ξ≥182.5）= =0.0013，

∴0.0013×100 000=130，

全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；

∴随机变量ξ可取0，1，2，于是

P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= =，

∴Eξ=0× +1× +2× =1．

【解析】（1）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；
根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息，以及对离散型随机变量及其分布列的理解，了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．