Question

已知一个几何体的主视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（　　）

• A、

  32π

  27

• B、

  64π

  9

• C、

  32 3 π

  27

• D、

  16π

  3

Answer 1

分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆锥，其高已知，底面是直径为2的圆，侧面母线长为2，此几何体的外接球球心在其轴截面上，即主视图是外接球的大圆的内接三角形，由此球的半径易求．

解答：解：由题设，此几何体是一个圆锥，其外接球的一个大圆正好是其主视图的外圆
几何体的主视图是边长为2的正三角形，故球心即三角形的重心
由于此正三角形的高为

3

，故此球的半径为

2 3

3

所以此几何体的外接球的表面积是4×π×(

2 3

3

)2=

16π

3

故选D．

点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥个接球的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．