Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；的最大值为-1

【解析】

（1）求得，根据题设条件，得到，即可求解；

（2）假设存在整数，使得不等式恒成立，当时，函数，求得函数的导数，令，利用导数求得函数的单调性与最值，结合零点的存在定理和函数的最值，即可求解.

（1）由题意，函数，则，

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，解得.

（2）假设存在整数，使得关于的不等式恒成立，

当时，函数，可得，

设，则，

所以单调递增，且，，

所以存在使得，

因为当时，，即，所以单调递减；

当时，，即，所以单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，

此时，

因为，所以，

因为，且为整数，所以，即的最大值为-1.