Question

16．抛物线x²=-2y与过点P（0，-1）的直线l交于A，B两点，如果OA与OB的斜率之和为1，则直线l的方程是（　　）

• A． y=-x-1
• B． y=x+1
• C． y=x-1
• D． y=-x+1

Answer 1

分析 由题意可得设直线l的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线的方程可得：x²+2kx-2=0，根据韦达定理可得答案．

解答 解：由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以联立直线与抛物线x²=-2y可得：x²+2kx-2=0，
所以x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2，
因为OA和OB的斜率之和为1，即 $\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=1，
所以 $\frac{{kx}_{1}-1}{{x}_{1}}$+$\frac{{kx}_{2}-1}{{x}_{2}}$=2k-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，
所以k=1，
所以直线l的方程为y=x-1．
故选：C．

点评 本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题．