Question

已知△ABC中，C是以AB为直径圆上一点，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面SBC；
（Ⅱ）已知SA=BC=3，AC=3

2

，求三棱锥S-ABC外接球体积V_球．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明AD⊥平面SBC，因为AD⊥SC，只需证明AD⊥BC，进而转化为证明BC⊥平面SAC即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC、△SAB均为Rt△，且∠SAB=∠ACB=90°，取SB中点M，易知M点即为三棱锥S-ABC外接球的球心，SB为外接球的直径，通过解直角三角形即可求得；

解答：（Ⅰ）证明：∵C是以为AB直径圆上一点，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又SA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴SA⊥BC．
又SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC，
又AD在平面SAC上，∴BC⊥AD．
又SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥平面SBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知△ABC、△SAB均为Rt△，且∠SAB=∠ACB=90°．
取SB中点M，连接AM、CM，则AM=CM=

1

2

SB．
所以SB为三棱锥S-ABC外接球直径；
又SA=BC=3，AC=3

2

所以AB²=AC²+BC²=27，SB²=SA²+AB²=36．
三棱锥S-ABC外接球半径为

1

2

SB=3．
故三棱锥S-ABC外接球体积V球=

4

3

×π×33=36π．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定、球的体积求解，考查学生的推理论证能力，属中档题．